Gravitasi
Gravitasi newton
Di tahun 1687 newton mempublikasi karyanya “ philosophiae naturalis principia mathematica” . dalam bahasa latin bisa diartikan filosofi dasar prinsip matemetika, dalam hal filosofi dasar bisa dibaca sebagai fisika. Kemudian newton tidak hanya orang fisika yang meneliti tentang gravitasi di zaman itu. Namanya kemudian dikenal karene prinsipnya tadi. Kebesaran karyanya terdapat dalam fakta bahwa newton bisa membawa penelitian empirik ke dalam dasar matematika dan menjelaskan penggabungan gaya dalam banyak fenomena alam :
- Pergerakan planet2 (berdasrkan fakta pergerakan elliiptical yang ditemukan kepler)
- Gerakan jatuh bebas
- Bentuk equilibrium bumi
Newton membuat observasi dasar dalam gravitasi
- gaya diantara dua benda yang tarik menarik sebanding dengan massa kedua benda tsb
- gaya berbanding terbalik dengan jarak pangkat 2
- gaya ada di sepanjang garis semu diantara dua benda
dalam matemetika rumus dari 2 point awal adalah
Dengan G adalah konstanta. Itu disebut konstanta gravitasi atau konstanta newton. Nilai G adalah
Segera setelah publikasi dari prinsip newton dicemooh untuk karyanya oleh huygens.
Rumus 2.1 menandakan bahwa gaya beraksi pada jarak dan aksinya sangat cepat.
Aksi seperti itu bukan termasuk fisika dalam pengertian modern. Contoh, dalam teori relativitas einstein tidak ada interaksi yang bisa lebih cepat dari kecepatan cahaya. Bagaimana pun, newton tidak mempertimbangkan rumusnya (2.1) sebagai hukum dasar. Malahan ia melihat kejadian itu sebagai kecocokan di dalam deskripsi matemetika. Seperti hukum gravitasi newton masih dapat bertahan sebagai model untuk gravitasi di geodesi fisis
rumus 2.1 simetris dengan : m1 menggunakan gaya di m2 dan m2 menggunakan gaya yang sama tetapi berlawanan arah di m1. Dari sekarang kita akan tertarik dalam medan gravitasi yang dibangkitkan oleh sebuah massa yang di test. Dari kesimpulan tadi kita set m1 : = m dan kita taruh statis. M2 bisa jadi benda dengan massa berubah dan tempatnya juga bisa diubah. Setelah itu kita eliminasi m2 dengan
a = F/m2. Gaya tarik menarik gravitasi menjadi
Dalam kasus ini r adalah jarak antara benda bermasa dan benda static. Gaya tarik menarik gravitasi mempunyai unit m/. Dalam geodesy sering disebut Gal.
2.2 (kinematik vs dinamik) gaya tarik gravitasi bukan percepatan. Gaya tarik menarik adalah quantitas yang dinamis : gaya per unit massa atau gaya spesifik. Akselerasi di satu sisi adalah quantitas kinematik.
2.1.1 vektor tarik menarik dari benda bermassa
Tarik menarik gravitasi bekerja sepanjang garis yang menghubungkan dua benda bermasa. Dalam situasi setimbang gaya tarik di titik 1 = titik 2 , tapi berlawanan arahnya, dengan gaya tarik di titik 2 A12=-A21 . kejadian ini berhubungan dengan hukum newton aksi = -reaksi
Gambar 2.1 tarik menarik dititik yang berlokasi berlokasi di P1 terhadap P2
Dalam kasus diatas kita hanya punya satu titik massa (m), terletak di r1, tarik menarik ini di evaluasi di r2, persamaan ini tidak berlaku. Vector a mempertimbangkan hubungan tarik menarik ini.
2.1.2 potensial gravitasi
Medan tarik menarik gravitasi (a) adalah medan konservativ. Ini berarti jumlah gaya yang bekerja dari titik A ke Titik B harus sama.,Apapun yang terjadi. Secara matematika , kasus ini di gambarkan oleh fakta bahwa a adalah
Sekarang dari analisis vektor diketahui bahwa lengkungan dari semua gradien selalu = 0 oleh karena itu a bisa ditulis sebagai sebuah gradien dari beberapa skalar. Skalar ini disebut potensial gravitasi V. jumlah dari energy yang diambil (atau bisa di tumbuhkan) untuk pergi dari A ke B dirumuskan Vb –Va.
2.1.3 superposisi
Formula gravitasi yang diturunkan untuk sebuah titik massa sangat jauh. Satu yang penting dari properti gravitasi yang dinamakan prinsip superposisi. Prinsip itu mengatakan bahwa potensial gravitasi dari sistem massa bisa di mudah didapat dengan menambahkan potensial dari sebuah massa. Secara umum kita punya
i adalah sebuah massa dan ri adalah jarak antara titik massa dan titik evaluasi (titik kontrol). Gaya tarik menarik total secara simpel diperoleh dari a= V lagi
2.1.4 superposisi kontinyu
Konfigurasi massa dunia nyata bisa di gagas sebagai sistem yang tak terbatas dan massa titik terdekat yang tak terbatas. Formula khusus ini akan menjadi satu keadaan yang kontinyu.
Pada omega terdiri dari elemen massa dm, dari masa yang tak terhingga dari cube yang tak terhingga dx, dy, dz dengan kepadatan p(ro) (x,y,z):
Kenaikan dari semua elemen massa dalam omega –the continous equivalent of superposition- memberikan potensial yang ditimbulkan dari omega
Dengan r sebagai jarak antara point komputasi (perhitungan) dan elemen massa dm. lalu, gaya tarik menarik gravitasi dari omega diperoleh dengan mengaplikasikan gradien
mau lebih lengkapa dan ada gambar
2.1.4 superposisi kontinyu
Konfigurasi massa dunia nyata bisa di gagas sebagai sistem yang tak terbatas dan massa titik terdekat yang tak terbatas. Formula khusus ini akan menjadi satu keadaan yang kontinyu.
Pada omega terdiri dari elemen massa dm, dari masa yang tak terhingga dari cube yang tak terhingga dx, dy, dz dengan kepadatan p(ro) (x,y,z):
Kenaikan dari semua elemen massa dalam omega –the continous equivalent of superposition- memberikan potensial yang ditimbulkan dari omega
Dengan r sebagai jarak antara point komputasi (perhitungan) dan elemen massa dm. lalu, gaya tarik menarik gravitasi dari omega diperoleh dengan mengaplikasikan gradien
Potensial (2.8) dan gaya tarik(2.9) secara prinsip dapat ditentukan menggunakan integral jika distribusi kerapatan di dalam Ω diketahui. Bagaimanapun kita secara nyata tidak bisa mengaplikasikan integral ini ke bumi yang nyata. Distribusi kerapatan di dalam bumi tidak diketahui secara pasti. Untuk alasan tersebut kitaakan membuat teori potensial dirubah ke integral volume menjadi integral permukaan di bab berikutnya.
2.2 kepadatan ideal
Menggunakan rumus umum untuk potensial dan gaya tarik, kita akan menginvestigasi pengaruh gravitasi pada beberapa benda dengan kepadatan ideal sekarang.
2.2.1 spehere (bola) padat homogen
Mengingat radius sphere ® dengan kepadatan homogen ρ(x,y,z) = ρ. Untuk dapat mengevaluasi integral (2.8) kita dapat mengasumsikan sistem koordinat dengan titik originnya ada ditengah sphere nya. Sejak spherenya berputar (rotasi) secara simetris maka kita dapat mengevaluasi potensial gravitasinya di tempat yang berbeda-beda. Pilihan kita adalag pada titik P (positif) di Sumbu Z. lalu kita punya evaluasi titik P dan titik masa Q pada vektor berikut
Rumus diatas lebih mudah untuk diintegralkan dalam koordinat sperikal daripada didalam koordinat kartesian. Abis itu kita gunakan jari2 r, colattitude θ dan longitud λ. Hasil integralnya berupa
Dan elemen volume dx dy dz diganti dengan . masukkan perubahan koordinat ke rumus 2.8 dan memasukan konstanta densitas ρ diluar integral, berikut integralnya
Integrasi di λ adalah trivial, sejak λ tidak terlihat dalam integrand. Integrasi di θ tidak langsung, cara kerennya adalah dengan mengganti variabel2nya. Gunakan Rpq (2.10) ι sekarang. Jadilah
Batas integral dari harus ditentukan dulu. Kita harus membedakan dua kasus
Gambar 2.4 penentuan bataas integral untuk variabel I ketika titik evaluasi (bench) P diluar (kiri) atau didalam (kanan) dalam bola padat.
Titip P diluar bola (z>R): dari gambar 2.4 (kiri) batas integral I jadi jelas:
Kalo kita tetapkan titik P berubah ke sumbu Z. secara umum, kita dapat mengganti z dengan r karena jari2 simetri pad bola. Jadi kita dapet gambarkan
Mengetahui kalo massa M dari bola setara dengan mudah kita dapat jadi potensial dari bola padat = titik massa M, setidaknya diluar bola itu.
Titik P di Bola (z
Untuk massa diluar P kita punya batas integrasi untul I :
Integrasi lewat r mulai dari z ke R. dengan perubahan variabel yang sama kita dapa gambarkan
Kombinasi efek untuk bola kecil (r
Selanjutnya kita bisa ganti z dengan r. biasanya, potensial gravitasi dari bola dengan radius R dibaca
Secara ilmiah, di batas potensial akan kontinyu dengan menyamakan r=R padakedua rumus ini
Hasil digambarkan di gambar 2.5. tidak hanya kekontinyuan potensial yang melintas di bola, tapi ini juga halus( mungkin logis).
Gaya tarik. Sekarang lebih mudah untuk menemukan gaya tarik dari bola padat. Sejak intinya memusat di pusat bola (origin) kita hanya perlu kesepakatan dengan komponen radial berikut:
Kontinyuitas di batasnya diverifikasi sbb
Lalu, hasilnya digambarkan di gambar 2.5. walaupun gaya tarik ini kontinyu yang melintas di batasnya, tapi rumus ini sudah tidak bisa diturunkan lagi.
Soal 2.1 gravitasi a = 981 Gal di permukaan bola dengan R = 6378 Km, hitung massa bumi Mk dan rata2 densitasnya ρE.
Soal 2.2 dengan memperhatikan bahwa bumi itu bola homogen dengan densitas rata2nya ρE . kita asumsikan sebuah lubang di bumi berhubungan di kedua sisi di permukaan bumi dengan melewati pusat bumi. Jika sebuah benda masuk ke lubang itu? Gerakan apa yang akan muncul? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk sampai ke sisi lubang lainnya? Apa dan dimana kecepatan maksimum tercapai?
Soal 2.3 coba temukan formula gravitasi yang lebih umum untuk V dan a untuk kasus dimana densitas (dalam kassus ini) tidak konstan tapi tergantung dari jari2 nya (jari2 dari permukaan ke pusat berbeda) ρ = ρ(r ) . pertama, atur integralnya dan kemudian coba untuk memecahkan masalah itu.
2.2.2 bola berongga
Bola berongga adalah bola yang berlubang dengan jari2 dalam R1 dan Jari2 luar R2. POTENSIAL GRAVITASI dari bola tipe ini mungkin bisa ditemukan analog dengan turunannya di 2.2.1. tentu saja batas integrasi yang tepat sudah biasa digunaka. Bagaimanapun karena prinsip superposisi, kita dengan simple mempertimbangkan bahwa bola berongga ini dapat dibedakan dengan dua bola padat. Kita dapat mnulis
gambar 2.5 potensial V dan gaya tarik a sebagai fungsi dari r, untuk bola homogen dengan radius R
Dengan mensubstraksi rumus 2.15 dan 2.17 dengan jari2 yang tepat, satu capaian tentang potensia dan gaya tarik bisa didapat. Tapi harus hati2 dengan area R1
Catetan : potensial di bagian dalam konstan
Remark 2.3 potensial di luar bola berongga dengan jari2 R1 dan R2 dan densitasnya bisa juga di timbulkan dari titik massa dengan tapi bisa juga ditimbulkan deengan bola padat dengan jari2 R2 dan densitas . Jika kita tidak punya data seismic kita gak akan bakalan tau bola itu brongga apa padat.
Remarks 2.4. remarks 2.3 bisa di sederhanakan. Jika struktur densitas yang di bola dengan jari2 R benar2 bola dan terikat, potensial di luar adalah
Sama dengan diatas, untuk gaya tarik kita dapat
Sejak potensial konstan di rongga, gaya tarik gravitasi hilang disana. Hasil potensial dan gaya tarik dapat dilihat di gambar 2.6
Soal 2.4 cek kontinyuitas dari V dan a di batas r=R1 dan r=R2
Soal 2.5 struktur dasar dari jari2 bumi : inti dalam, inti luar, mantel, kerak. Asumsikan
Tulis formula yang tepat untuk mengevaluasi potensial dan gaya tarik. Hitung di sepanjang jari2 dan gambarkan
mau lebih lengkap
klik disini 